Отец — заводской слесарь, мать — учитель физики и математики.

В школьные годы занимался волейболом и даже играл за сборную Московской области.

В 1975-м году поступил в Театральное училище им. Б. Щукина на курс к Алле Александровне Казанской. Спустя два года Константин Райкин, на тот момент артист «Современника» и помощник Олега Табакова в его театральной студии, пригласил Смолякова на роль Маугли в своем спектакле «Прощай, Маугли!».
Узнав, что студент Щукинского училища репетирует "у сомнительного Табакова", ректор училища Г. Л. Пелисов запретил молодому актеру участие в спектакле.После третьего курса Андрей Смоляков перевелся в Государственный институт театрального искусства имени А. В. Луначарского (ГИТИС), пожелав учиться на курсе Олега Табакова, который как раз преподавал в ГИТИСе. Таким образом, в 1978-м году Смоляков стал студентом мастерской Олега Табакова.

В том же 1978 году молодой артист снялся в своем первом фильме — «Целуются зори» режиссера Сергея Никоненко.

Окончив ГИТИС в 1980 году Андрей Смоляков рассчитывал попасть в труппу театра «Табакерка» Олега Табакова, но театр был закрыт решением первого секретаря МГК КПСС Виктора Гришина. И с 1980 по 1982 годы Андрей служил актёром Московского драматического театра имени Н. В. Гоголя, играя маленькие вводные работы и роли в детских спектаклях, шедших по утрам.

В 1982—1986 годах состоял в труппе Театра миниатюр под руководством Аркадия Райкина в Москве, снимался в кино и работал педагогом на новом курсе Табакова.

С 1986 года по настоящее время служит в труппе Московского театра-студии под руководством Олега Табакова.

Имеется в активе у Смолякова и опыт режиссуры над спектаклем «Потомок», но, по словам самого актёра, он никогда в жизни этим заниматься больше не будет:

Народный артист РФ (2004).

В октябре 2007 года в результате уличного нападения получил травму головы и сотрясение мозга. Был госпитализирован.